ثمین در تبریز به دنیا آمد. پدرش جبّار باغچه‌بان، مردی نوآور و ابداع‎گر‎، بانی مدرسۀ کَرولال‌ها، پیشاهنگ در زمینۀ آموزش آنان، بنیادگذار نخستین کودکستان در ایران، و نیز خالق آثار بسیاری برای کودکان بود. او در تربیت و پرورش‌ یافتن استعداد فرزندانش ثمین و ثمینۀ باغچه‌‏بان بسیار مؤثر بود. ثمین پس‌از پایان‌ بردن تحصیلاتش در هنرستان موسیقی، در ۱۳۲۳ به ترکیه رفت و در کنسرواتوار آنکارا در رشتۀ آهنگ‎سازی تحصیلاتش را ادامه داد. با حسین ناصحی، موسیقی‌دان، هم‌دوره بود و در کنسرواتوار با اِولین (بعداً اِولین باغچه‏‌بان، خواننده، موسیقی‌دان و آموزش‎گر موسیقی) آشنا شد و پس‌از بازگشت به ایران در ۱۳۲۸، در اینجا با او ازدواج کرد. آن دو سال‌ها همکار بودند و آثار موسیقی بسیاری مشترکاً پدید آوردند. اِولین در چند عرصۀ موسیقی در ایران، ازجمله پایه‌گذاری گروه کُر هنرستان عالی موسیقی فعال و تأثیر‏گذار بوده است (باغچه‌بان، ۱۱-۱۶؛ رئوفی، ۹۱-۹۲).